章八
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历二
大统历法一上(法原)
造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如太初之起数钟律，大衍之造端蓍策，皆详本志。授时历以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可考。元史漫无采摭，仅存李谦之议禄、历经之初稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。今据大统因通轨及历草诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。
句股测望
北京立四丈表，冬至日午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴日下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下七分六十六秒，为日出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴日下之度。以句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为日出地半弧弦。
以二至日度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为北京北极出地度。
弧矢割圆
周天经一百二十一度七十五分少。(少不用。)半径六十零度八十七分半。(又为黄赤道大弦。)二至黄赤道内外半弧背二十四度。(所测就整。)二至黄赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。(半径内减去矢度之数。)
割圆求矢术 置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。(黄赤道同用。)
如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不足一秒叶不用，下同。)
凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为黄赤相求及其内外度之根。(数详后。)
黄赤道差
求黄赤道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度，余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股乘之(大股见割圆)为实。黄赤道大弦(半径)为法。实如法而一，为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度，(即黄道半弧背。)余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕，黄赤道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为赤道小弦。置黄赤道半弧弦，以周天半径(亦为赤道大弦)乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道半弧弦。置黄赤道小股，(亦为赤道横小句)以赤道大弦(即半径)乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道横大句，以减半径，余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为赤道半背弦差。以差加赤道半弧，为赤道积度。
如黄道半弧背一度，求赤道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，(即黄赤道大弦。)内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六度零一分九十二秒，为黄赤道小股。(又为赤道小句。)置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度，内减黄道半背弦差，余为半弧弦，因因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之，得一度为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为赤道小弦。置黄道半弧弦一度，以半径(即赤道大弦)乘之，得六十零度八七五为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二，(又为赤道小句。)以赤道大弦(半径)六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以赤道小弦为法除之，得六十零度八十六分五十三秒，为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，为赤道积度，今差在微已下不加，即用半弧弦为积度。
凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黄道度下赤道积，两数相减，即得黄赤道差，乃至后之率。其分后，以赤道度求黄道，反此求之，其数并同。
黄赤道相求弧矢诸率立成上
(表格略)
黄赤道相求弧矢诸率立成下
(表格略)
按郭敬创法五端，内一曰黄道差，此其根率也。旧法以一百一度相减乘。授时立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合于浑象之理，视古为密。顾至元历经所载略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为率，今正之。
割圆弧矢图
凡浑圆中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股内成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，浑圆之理，斯为密近。
平者为赤道，斜者为黄道。因二至黄道赤之距，生大句股。因各度黄赤之距，生小句股。
外大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。
黄赤道内外度
推黄道各度，距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦，余为赤道二弦差。(又为黄赤道小弧矢，又为内外矢，又为股弦差。)置半径内外减去黄道矢度，余为黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实，以黄赤道大弦为法，(即半径。)除之为黄赤道小弧弦。(即黄赤道内外半弧弦，又为黄赤道小句。)置黄赤道小弧矢自之，(即赤道二弦差。)以全径除之，为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度。置黄赤道内外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太阳去北极度分。
如冬至后四十四度，求太阳去赤道内外及去极度。术曰：“置半径六十零度八十七分半，内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为黄赤道小弧矢。(即内外矢。)置半径六十零度八七五，内减黄道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。(即内外半弧弦。)置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太阳去赤道内外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以内外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太阳去北极度。
黄道每度去赤道内外及去北极立成
(表格略)
白道交周
推白赤道正交，距黄赤道正交北极数。术曰：“置实测白道出入黄道内外六度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分(就整)为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为白赤道正交，距黄赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十六分，为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。
<b>译文</b>
制定历法的人各有自己的渊源，史书应该详尽采录，使后世有参考的依据。
如太初历起源于音律，大衍历发端于蓍卜，都详细见于本历志。
授时历以测量检骏推算焉宗旨，祇求与天相合，不牵强附会音律、卦爻。
然而它立法的依据.数据的出处，以及日晷影长、行星度数，都有完整的书籍。
郭守堃、查履谦的传中，有书名可考。
元史全没有采录，现仅存奎盏的议录、历经的初稿。
后来改变三应率及数据表的数据，和割圆弧矢的方法、平立定三差的来源，都删去没有记载。
使作者的精辟见解湮汝无闻，有见识的人都为此感到道憾。
现在根据大统历通轨及历草等书，稍加编排，首先是历法原理，其次是数据表，再其次是推算。
而历法原理的细目有七项，是勾股测望，弧矢割圆，黄赤道差，黄赤道内外度，白道交周，日月五星平立定三差，里差刻漏。
在北京立四丈高的标尺，冬至日正午，测得影长七丈九尺八寸五分。
随即用简仪测得太阳南至地平二十六度四十六分半，焉半弧背。
求得矢度为五度九十一分半。
将周天半径，减去矢度，剩余五十四度九十六分为股，就是本地离头顶上太阳的度数。
用以弦股求勾的方法，求得勾为二十六度十七分六十六秒，就是太阳出地的半弧弦。
在北京立四丈高的标尺，夏至日正午，测得影长一丈一尺七寸一分。
随即用简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。
求得矢度为四十三度七十四分又四分之一。
将周天半径，减去矢度，剩下十七度十三分二十五秒焉勾，就是本地离头顶上太阳的度数。
用以勾弦求股的方法，求得股为五十八度四十五分半，就是太阳出地的半弧弦。
将冬至夏至太阳南至地平的度数相加，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京的赤道出地度数。
以赤道出地度转减周天的四分之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，就是北京的纬度。
周天圆的直径为一百二十一度七十五分又四分之一。
四分之一不用。
半径为六十度八十七分半。
又是黄道赤道的大弦。
冬至夏至黄道赤道内外半弧背为二十四度。
所测敷取整数。
冬至夏至黄道赤道弧矢为四度八十四分八十二秒。
黄道赤道大勾为二十三度八十分七十秒。
黄道床道大股为五十六度零二分六十八秒。
半径内减去矢度。
割圆求矢的方法。
将半弧背的度数自乘，就是半弧背的幂。
将周天圆的直径自乘，就是上廉。
上廉乘半弧背的幂，就是正实。
上廉乘以天圆直径，就是益从方。
半弧背乘以二，乘以天圆直径，就是下廉。
用初商乘上廉，再用益从方减去这个得数，余数就是从方。
将初商自乘并用下廉减自乘的得数，余数乘以初商，就是从廉。
从方和从廉相加，就是下法。
下法乘以初商，再用正寅减去此数，如正赏不够减，就改用初商。
正实还有余数，依次用商除下去。
将初商乘以二，与次商相加并乘以上廉，再用益从方减去乘积，余数为从方。
将初商和次商相加并自乘，又将初商自乘，然后两数相加，再用下廉城此数，余数用初商的二倍加次商舆之相乘，就是从廉。
从方和从廉相加，就是下法。
下法乘以次商，再用余实碱此数，从而确定次商。
如还有余数，用同样的方法计算，商的得敷就是矢的度数。
黄道赤道同用这一度数。
例如以半弧背一度来求矢的度数。
方法是：将半弧背一度自乘，得敷为一度，是半弧背的幂。
将天圆直径一百二十一度又四分之三自乘，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是上廉。
上廉乘以半弧背的幂，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是正实。
上廉又乘天圆直径，得一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，就是益从方。
半弧背一度加倍，得二度，乘以天圆直径得二百四十三度五十分，就是下廉。
初商八十秒。
将初商八十秒乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，再用益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五减此数，余一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五，就是从方。
又将初商八十秒自乘，得六十四微，再用下廉减此敷，余二百四十三度四九九九三六。
仍然用八十秒乘此余数，得一度九四七九九九四八八，就是从廉。
将从廉和从方相加，共得一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八，就是下法。
下法乘以初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，再用正实藏去此数，得余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。
次商二秒。
将初商八十秒加倍，得一分六十秒。
加次商二秒，得一分六十二秒，乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，再用益从方减此数，余一百八十万四千四百六十七度七二五七六二五，就是从方。
又将初商和次商八十二秒自乘，得六十七微。
加上初商八十秒自乘之数，得一秒三十一微，用下廉减此敷，余二百四十三度四九九八六九。
乘以前面所得到的一分六十二秒，得三度九十四分四六九七八七七八，就是从廉。
将从廉和从方相加，得一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八，就是下法。
将下法乘以次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，用余实减此敷，还余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。
不足一秒舍弃不用，以下同。
求得矢的度数共八十二秒，剩余部分继续用上列方法计算。
求得矢的度数，作为黄道赤道相求及求二者内外度的根。
数据详见后文。
求黄道各度之下赤道度数的方法。
将天圆的半径减去黄道矢的度数，余数焉黄道赤道的小弦。
将黄道赤道的小弦，乘以黄道赤道的大股大股见弧矢割圆作为被除数。
黄道赤道的大弦天圆半径作为除数。
两数相除，就是黄道赤道的小股。
将黄道的矢自乘作为被除数，以天圆的直径作为除数，两数相除，就是黄道半背弦差。
用黄道积度即黄道半弧背减这个差，余数就是黄道半弧弦。
将黄道半弧弦自乘作为股的幂，黄道赤道小股自乘作为勾的幂，两个幂相加，开平方，就是赤道小弦。
将黄道的半弧弦，乘以天圆的半径也是赤道大弦作为被除数，以赤遒小弦作为除数与之相除，就是赤道的半弧弦。
将黄道赤道的小股，也是赤道的横小勾。
用赤道大弦即半径相乘作为被除数，以赤道小弦作为除数与之相除，就是赤道横大勾，再用半径减赤道横大勾，余数就是赤道横弧矢。
将横弧矢自乘作为被除数，以直径作为除数与之相除，就是赤道的半背弦差。
以半背弦差加赤道半弧弦，就是赤道的度数。
如黄道半弧背为一度，求赤道的度数。
方法是：将半径六十度八十七分五十秒，即黄道赤道大弦。
黄道的矢八十二秒，余六十度八六六八，就是黄道赤道小弦。
将黄道赤道小弦，乘以黄道赤道大股五十六度零二六八，得三千四百一十度一七二零三零二四作为被除数，以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数，两敷相除，得五十六度零一分九十二秒，就是黄道赤道的小股。
又是赤道小勾。
将矢的度数八十二秒自乘，得六十七微，以天圆直径一百二十一度七五作为除数，舆之相除得五十五纤，就是黄道半背弦差。
将黄道半弧背一度，减黄道半背弦差，余数就是半弧弦。
因半背弦差在一微以下，所以不减，就用一度作为半弧弦。
将黄道半弧弦一度自乘，得一度作为股的幂。
黄道赤道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八六四作为勾的幂。
两个幂相加得三千一百三十九度一五零七六八六四焉弦实，开平方，得五十六度零二八一，就是赤道小弦。
将赤道半弧弦一度，乘以天圆半径，即赤道大弦。
得六十度八七五作为被除数，以赤道小弦五十六度零二八一作为除敷相除，得一度零八分六十五秒，就是赤道的半弧弦。
将黄道赤道的小股五十六度零一九二，又是赤道小勾。
乘以赤道大弦天圆半径六十度八七五，得三千四百一十度一六八八作为被除数，以赤道小弦作为除数相除，得六十度八十六分五十三秒，就是赤道横大勾。
将天圆半径六十度八十七分五十秒，减赤道大勾六十度八十六分五十三秒，余九十七秒，就是赤道横弧矢。
将赤道横弧矢九十七秒自乘，得九十四微零九，再以天圆直径作除数舆之相除，得七十七纤，就是赤道背弦差。
将赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，就是赤道的度数。
现在赤道背弦差在一微以下，舍弃不加，就用半弧弦作为度数。
共求得赤道度数为一度零八分六十五秒。
其余度数各自用上面的方法，求到各黄道度数下的赤道度数，两敷相减，就得到黄道赤道差，这是冬至夏至后的比率。
春分秋分以后，以赤道度数求黄道，反过来相求，数据都相同。
按郭守敬创立的新方法有五条，其中一条是黄道赤道差，这就是它的数据。
旧方法用一百零一度相减相乘。
授时历创立新方法，用勾股、弧矢、方圆、斜直所包含的内容，推求黄道赤道的差敷，合乎天象的原理，比古代更严密。
只是至元历经的记载很筒略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为差率，现在予以纠正。
凡是圆周从中间剖开，就成了半圆。
任意切分半圆的一部分，就成了弧矢形，都有弧背，有弧弦，有矢。
切分出弧矢形的一半，就有半弧背，有半弧弦，有矢。
因为弦和矢就生出勾股形，以半弧弦焉勾，半径减矢的余数为股，半径为弦。
勾股内又形成小勾股，就有小勾、小股、小弦，而大小可以互相推求，平侧可以互相利用，圆周的道理，这就很切近了。
平线是赤道，斜线是黄道。
因为冬至夏至黄道赤道的距离，生出大勾股。
因为各度黄道赤道的距离，生出小勾股。
外面的大圆是赤道。
从北极俯视，黄道在赤道之内，有赤道的各度，就有各度的半弧弦，以此生出大勾股。
又各有舆它们相应的黄道半弧弦，以此生出小勾股。
这二者可以互相推求。
按旧史书没有图，然而表也是和圆同类的。
现在勾股割圆弧矢的方法，实在是历算家测算的根本。
没有图不能说明问题，因而保留其重要的几幅。
推算黄道各度距离赤道的内外度数及距离北极远近的方法。
将天圆半径减去赤道小弦，余敷就是赤道两个弦的差。
又是黄道赤道小弧的矢，又是内外矢，又是股弦差。
将半径减去黄道矢的度数，余数就是黄道赤道的小弦。
将冬至夏至黄道赤道内外半弧弦舆黄道赤道小弦相乘作为被除数，以黄道赤道大弦作为除数，即半径。
舆之相除就是黄道赤道小弧弦。
就是黄道赤道内外半弧弦，又是黄道赤道小勾。
将黄道赤道小弧矢自乘，即赤道两弦的差。
除以直径，就是半背弦差。
用这个差加黄道赤道小弧弦就是黄道赤道小弧半背，也就是黄道在赤道内外的度数。
根据黄道在赤道内外的度数，如果在盈初缩末象限表内就加，在缩初盈末象限表内就减，都加减象限表内的度数，就得到太阳距离北极的度数。
如冬至后黄道四十四度，求太阳距离赤道内外的度数及距离北极的度数。
方法是：将天圆半径六十度八十七分半，减黄道四十四度时赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，就是黄道赤道小弧矢。
即内外矢。
将半径六十度八七分半，减黄道四十四度时的矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四度三十分六十八秒，就是黄道赤道小弦。
将黄道赤道小弦，用冬至夏至时黄道赤道内外半弧弦二十三度七十一分舆之相乘，得一千零五十度五十一分四二三八作为被除数，以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数舆之相除，得十七度二十五分六十九秒，即黄道赤道小弧弦。
即内外半弧弦。
将黄道赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数，用直径一百二十一度七十五分与之相除，得五分二十一秒就是背弦差。
用背弦差加黄道赤道小弧弦十七度二十五分六十九秒，得十七度三十分八十九秒，就是冬至夏至前后黄道四十四度时，太阳距离赤道的内外度。
将象限九十一度三十一分四十三秒七五，加内外度十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，就是冬至后黄道四十四度时太阳距离北极的度数。
推算白道和赤道的降交点距离黄道赤道降交点的最大数值。
方法是：将寅测到的白道出入黄道内外的六度作为半弧弦，又是大圆的弦矢，又是股和弦的差。
将半径六十度八七五自乘，得三干七百零五度七六五六二五，用矢六度与之相除，得六百一十七度六十三分为股弦的和，再加矢六度，共六百二十三度六十三分，就是大圆直径。
按法则求得容阔五度七十分，又是小勾。
又以冬至夏至时出入半弧弦二十三度七十一分作为大勾。
以大勾作除数，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整敷而言为度差。
以度差乘小勾，得小股十三度四十七分八十二秒，就是容半长。
以半径六十度八七五焉大弦，乘以小勾五度七十分作为被除数，以大勾二十三度七十一分焉除数舆之相除，得十四度六十三分就是小弦；又是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的半弧弦。
按法则求得半弧背十四度六十六贫，就是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的最大敷值。
历二
大统历法一上(法原)
造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如太初之起数钟律，大衍之造端蓍策，皆详本志。授时历以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可考。元史漫无采摭，仅存李谦之议禄、历经之初稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。今据大统因通轨及历草诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。
句股测望
北京立四丈表，冬至日午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴日下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下七分六十六秒，为日出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴日下之度。以句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为日出地半弧弦。
以二至日度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为北京北极出地度。
弧矢割圆
周天经一百二十一度七十五分少。(少不用。)半径六十零度八十七分半。(又为黄赤道大弦。)二至黄赤道内外半弧背二十四度。(所测就整。)二至黄赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。(半径内减去矢度之数。)
割圆求矢术 置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。(黄赤道同用。)
如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不足一秒叶不用，下同。)
凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为黄赤相求及其内外度之根。(数详后。)
黄赤道差
求黄赤道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度，余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股乘之(大股见割圆)为实。黄赤道大弦(半径)为法。实如法而一，为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度，(即黄道半弧背。)余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕，黄赤道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为赤道小弦。置黄赤道半弧弦，以周天半径(亦为赤道大弦)乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道半弧弦。置黄赤道小股，(亦为赤道横小句)以赤道大弦(即半径)乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道横大句，以减半径，余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为赤道半背弦差。以差加赤道半弧，为赤道积度。
如黄道半弧背一度，求赤道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，(即黄赤道大弦。)内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六度零一分九十二秒，为黄赤道小股。(又为赤道小句。)置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度，内减黄道半背弦差，余为半弧弦，因因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之，得一度为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为赤道小弦。置黄道半弧弦一度，以半径(即赤道大弦)乘之，得六十零度八七五为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二，(又为赤道小句。)以赤道大弦(半径)六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以赤道小弦为法除之，得六十零度八十六分五十三秒，为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，为赤道积度，今差在微已下不加，即用半弧弦为积度。
凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黄道度下赤道积，两数相减，即得黄赤道差，乃至后之率。其分后，以赤道度求黄道，反此求之，其数并同。
黄赤道相求弧矢诸率立成上
(表格略)
黄赤道相求弧矢诸率立成下
(表格略)
按郭敬创法五端，内一曰黄道差，此其根率也。旧法以一百一度相减乘。授时立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合于浑象之理，视古为密。顾至元历经所载略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为率，今正之。
割圆弧矢图
凡浑圆中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股内成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，浑圆之理，斯为密近。
平者为赤道，斜者为黄道。因二至黄道赤之距，生大句股。因各度黄赤之距，生小句股。
外大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。
黄赤道内外度
推黄道各度，距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦，余为赤道二弦差。(又为黄赤道小弧矢，又为内外矢，又为股弦差。)置半径内外减去黄道矢度，余为黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实，以黄赤道大弦为法，(即半径。)除之为黄赤道小弧弦。(即黄赤道内外半弧弦，又为黄赤道小句。)置黄赤道小弧矢自之，(即赤道二弦差。)以全径除之，为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度。置黄赤道内外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太阳去北极度分。
如冬至后四十四度，求太阳去赤道内外及去极度。术曰：“置半径六十零度八十七分半，内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为黄赤道小弧矢。(即内外矢。)置半径六十零度八七五，内减黄道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。(即内外半弧弦。)置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太阳去赤道内外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以内外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太阳去北极度。
黄道每度去赤道内外及去北极立成
(表格略)
白道交周
推白赤道正交，距黄赤道正交北极数。术曰：“置实测白道出入黄道内外六度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分(就整)为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为白赤道正交，距黄赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十六分，为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。
<b>译文</b>
制定历法的人各有自己的渊源，史书应该详尽采录，使后世有参考的依据。
如太初历起源于音律，大衍历发端于蓍卜，都详细见于本历志。
授时历以测量检骏推算焉宗旨，祇求与天相合，不牵强附会音律、卦爻。
然而它立法的依据.数据的出处，以及日晷影长、行星度数，都有完整的书籍。
郭守堃、查履谦的传中，有书名可考。
元史全没有采录，现仅存奎盏的议录、历经的初稿。
后来改变三应率及数据表的数据，和割圆弧矢的方法、平立定三差的来源，都删去没有记载。
使作者的精辟见解湮汝无闻，有见识的人都为此感到道憾。
现在根据大统历通轨及历草等书，稍加编排，首先是历法原理，其次是数据表，再其次是推算。
而历法原理的细目有七项，是勾股测望，弧矢割圆，黄赤道差，黄赤道内外度，白道交周，日月五星平立定三差，里差刻漏。
在北京立四丈高的标尺，冬至日正午，测得影长七丈九尺八寸五分。
随即用简仪测得太阳南至地平二十六度四十六分半，焉半弧背。
求得矢度为五度九十一分半。
将周天半径，减去矢度，剩余五十四度九十六分为股，就是本地离头顶上太阳的度数。
用以弦股求勾的方法，求得勾为二十六度十七分六十六秒，就是太阳出地的半弧弦。
在北京立四丈高的标尺，夏至日正午，测得影长一丈一尺七寸一分。
随即用简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。
求得矢度为四十三度七十四分又四分之一。
将周天半径，减去矢度，剩下十七度十三分二十五秒焉勾，就是本地离头顶上太阳的度数。
用以勾弦求股的方法，求得股为五十八度四十五分半，就是太阳出地的半弧弦。
将冬至夏至太阳南至地平的度数相加，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京的赤道出地度数。
以赤道出地度转减周天的四分之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，就是北京的纬度。
周天圆的直径为一百二十一度七十五分又四分之一。
四分之一不用。
半径为六十度八十七分半。
又是黄道赤道的大弦。
冬至夏至黄道赤道内外半弧背为二十四度。
所测敷取整数。
冬至夏至黄道赤道弧矢为四度八十四分八十二秒。
黄道赤道大勾为二十三度八十分七十秒。
黄道床道大股为五十六度零二分六十八秒。
半径内减去矢度。
割圆求矢的方法。
将半弧背的度数自乘，就是半弧背的幂。
将周天圆的直径自乘，就是上廉。
上廉乘半弧背的幂，就是正实。
上廉乘以天圆直径，就是益从方。
半弧背乘以二，乘以天圆直径，就是下廉。
用初商乘上廉，再用益从方减去这个得数，余数就是从方。
将初商自乘并用下廉减自乘的得数，余数乘以初商，就是从廉。
从方和从廉相加，就是下法。
下法乘以初商，再用正寅减去此数，如正赏不够减，就改用初商。
正实还有余数，依次用商除下去。
将初商乘以二，与次商相加并乘以上廉，再用益从方减去乘积，余数为从方。
将初商和次商相加并自乘，又将初商自乘，然后两数相加，再用下廉城此数，余数用初商的二倍加次商舆之相乘，就是从廉。
从方和从廉相加，就是下法。
下法乘以次商，再用余实碱此数，从而确定次商。
如还有余数，用同样的方法计算，商的得敷就是矢的度数。
黄道赤道同用这一度数。
例如以半弧背一度来求矢的度数。
方法是：将半弧背一度自乘，得敷为一度，是半弧背的幂。
将天圆直径一百二十一度又四分之三自乘，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是上廉。
上廉乘以半弧背的幂，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是正实。
上廉又乘天圆直径，得一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，就是益从方。
半弧背一度加倍，得二度，乘以天圆直径得二百四十三度五十分，就是下廉。
初商八十秒。
将初商八十秒乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，再用益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五减此数，余一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五，就是从方。
又将初商八十秒自乘，得六十四微，再用下廉减此敷，余二百四十三度四九九九三六。
仍然用八十秒乘此余数，得一度九四七九九九四八八，就是从廉。
将从廉和从方相加，共得一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八，就是下法。
下法乘以初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，再用正实藏去此数，得余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。
次商二秒。
将初商八十秒加倍，得一分六十秒。
加次商二秒，得一分六十二秒，乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，再用益从方减此数，余一百八十万四千四百六十七度七二五七六二五，就是从方。
又将初商和次商八十二秒自乘，得六十七微。
加上初商八十秒自乘之数，得一秒三十一微，用下廉减此敷，余二百四十三度四九九八六九。
乘以前面所得到的一分六十二秒，得三度九十四分四六九七八七七八，就是从廉。
将从廉和从方相加，得一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八，就是下法。
将下法乘以次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，用余实减此敷，还余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。
不足一秒舍弃不用，以下同。
求得矢的度数共八十二秒，剩余部分继续用上列方法计算。
求得矢的度数，作为黄道赤道相求及求二者内外度的根。
数据详见后文。
求黄道各度之下赤道度数的方法。
将天圆的半径减去黄道矢的度数，余数焉黄道赤道的小弦。
将黄道赤道的小弦，乘以黄道赤道的大股大股见弧矢割圆作为被除数。
黄道赤道的大弦天圆半径作为除数。
两数相除，就是黄道赤道的小股。
将黄道的矢自乘作为被除数，以天圆的直径作为除数，两数相除，就是黄道半背弦差。
用黄道积度即黄道半弧背减这个差，余数就是黄道半弧弦。
将黄道半弧弦自乘作为股的幂，黄道赤道小股自乘作为勾的幂，两个幂相加，开平方，就是赤道小弦。
将黄道的半弧弦，乘以天圆的半径也是赤道大弦作为被除数，以赤遒小弦作为除数与之相除，就是赤道的半弧弦。
将黄道赤道的小股，也是赤道的横小勾。
用赤道大弦即半径相乘作为被除数，以赤道小弦作为除数与之相除，就是赤道横大勾，再用半径减赤道横大勾，余数就是赤道横弧矢。
将横弧矢自乘作为被除数，以直径作为除数与之相除，就是赤道的半背弦差。
以半背弦差加赤道半弧弦，就是赤道的度数。
如黄道半弧背为一度，求赤道的度数。
方法是：将半径六十度八十七分五十秒，即黄道赤道大弦。
黄道的矢八十二秒，余六十度八六六八，就是黄道赤道小弦。
将黄道赤道小弦，乘以黄道赤道大股五十六度零二六八，得三千四百一十度一七二零三零二四作为被除数，以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数，两敷相除，得五十六度零一分九十二秒，就是黄道赤道的小股。
又是赤道小勾。
将矢的度数八十二秒自乘，得六十七微，以天圆直径一百二十一度七五作为除数，舆之相除得五十五纤，就是黄道半背弦差。
将黄道半弧背一度，减黄道半背弦差，余数就是半弧弦。
因半背弦差在一微以下，所以不减，就用一度作为半弧弦。
将黄道半弧弦一度自乘，得一度作为股的幂。
黄道赤道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八六四作为勾的幂。
两个幂相加得三千一百三十九度一五零七六八六四焉弦实，开平方，得五十六度零二八一，就是赤道小弦。
将赤道半弧弦一度，乘以天圆半径，即赤道大弦。
得六十度八七五作为被除数，以赤道小弦五十六度零二八一作为除敷相除，得一度零八分六十五秒，就是赤道的半弧弦。
将黄道赤道的小股五十六度零一九二，又是赤道小勾。
乘以赤道大弦天圆半径六十度八七五，得三千四百一十度一六八八作为被除数，以赤道小弦作为除数相除，得六十度八十六分五十三秒，就是赤道横大勾。
将天圆半径六十度八十七分五十秒，减赤道大勾六十度八十六分五十三秒，余九十七秒，就是赤道横弧矢。
将赤道横弧矢九十七秒自乘，得九十四微零九，再以天圆直径作除数舆之相除，得七十七纤，就是赤道背弦差。
将赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，就是赤道的度数。
现在赤道背弦差在一微以下，舍弃不加，就用半弧弦作为度数。
共求得赤道度数为一度零八分六十五秒。
其余度数各自用上面的方法，求到各黄道度数下的赤道度数，两敷相减，就得到黄道赤道差，这是冬至夏至后的比率。
春分秋分以后，以赤道度数求黄道，反过来相求，数据都相同。
按郭守敬创立的新方法有五条，其中一条是黄道赤道差，这就是它的数据。
旧方法用一百零一度相减相乘。
授时历创立新方法，用勾股、弧矢、方圆、斜直所包含的内容，推求黄道赤道的差敷，合乎天象的原理，比古代更严密。
只是至元历经的记载很筒略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为差率，现在予以纠正。
凡是圆周从中间剖开，就成了半圆。
任意切分半圆的一部分，就成了弧矢形，都有弧背，有弧弦，有矢。
切分出弧矢形的一半，就有半弧背，有半弧弦，有矢。
因为弦和矢就生出勾股形，以半弧弦焉勾，半径减矢的余数为股，半径为弦。
勾股内又形成小勾股，就有小勾、小股、小弦，而大小可以互相推求，平侧可以互相利用，圆周的道理，这就很切近了。
平线是赤道，斜线是黄道。
因为冬至夏至黄道赤道的距离，生出大勾股。
因为各度黄道赤道的距离，生出小勾股。
外面的大圆是赤道。
从北极俯视，黄道在赤道之内，有赤道的各度，就有各度的半弧弦，以此生出大勾股。
又各有舆它们相应的黄道半弧弦，以此生出小勾股。
这二者可以互相推求。
按旧史书没有图，然而表也是和圆同类的。
现在勾股割圆弧矢的方法，实在是历算家测算的根本。
没有图不能说明问题，因而保留其重要的几幅。
推算黄道各度距离赤道的内外度数及距离北极远近的方法。
将天圆半径减去赤道小弦，余敷就是赤道两个弦的差。
又是黄道赤道小弧的矢，又是内外矢，又是股弦差。
将半径减去黄道矢的度数，余数就是黄道赤道的小弦。
将冬至夏至黄道赤道内外半弧弦舆黄道赤道小弦相乘作为被除数，以黄道赤道大弦作为除数，即半径。
舆之相除就是黄道赤道小弧弦。
就是黄道赤道内外半弧弦，又是黄道赤道小勾。
将黄道赤道小弧矢自乘，即赤道两弦的差。
除以直径，就是半背弦差。
用这个差加黄道赤道小弧弦就是黄道赤道小弧半背，也就是黄道在赤道内外的度数。
根据黄道在赤道内外的度数，如果在盈初缩末象限表内就加，在缩初盈末象限表内就减，都加减象限表内的度数，就得到太阳距离北极的度数。
如冬至后黄道四十四度，求太阳距离赤道内外的度数及距离北极的度数。
方法是：将天圆半径六十度八十七分半，减黄道四十四度时赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，就是黄道赤道小弧矢。
即内外矢。
将半径六十度八七分半，减黄道四十四度时的矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四度三十分六十八秒，就是黄道赤道小弦。
将黄道赤道小弦，用冬至夏至时黄道赤道内外半弧弦二十三度七十一分舆之相乘，得一千零五十度五十一分四二三八作为被除数，以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数舆之相除，得十七度二十五分六十九秒，即黄道赤道小弧弦。
即内外半弧弦。
将黄道赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数，用直径一百二十一度七十五分与之相除，得五分二十一秒就是背弦差。
用背弦差加黄道赤道小弧弦十七度二十五分六十九秒，得十七度三十分八十九秒，就是冬至夏至前后黄道四十四度时，太阳距离赤道的内外度。
将象限九十一度三十一分四十三秒七五，加内外度十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，就是冬至后黄道四十四度时太阳距离北极的度数。
推算白道和赤道的降交点距离黄道赤道降交点的最大数值。
方法是：将寅测到的白道出入黄道内外的六度作为半弧弦，又是大圆的弦矢，又是股和弦的差。
将半径六十度八七五自乘，得三干七百零五度七六五六二五，用矢六度与之相除，得六百一十七度六十三分为股弦的和，再加矢六度，共六百二十三度六十三分，就是大圆直径。
按法则求得容阔五度七十分，又是小勾。
又以冬至夏至时出入半弧弦二十三度七十一分作为大勾。
以大勾作除数，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整敷而言为度差。
以度差乘小勾，得小股十三度四十七分八十二秒，就是容半长。
以半径六十度八七五焉大弦，乘以小勾五度七十分作为被除数，以大勾二十三度七十一分焉除数舆之相除，得十四度六十三分就是小弦；又是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的半弧弦。
按法则求得半弧背十四度六十六贫，就是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的最大敷值。